一、排列1. 全排列把 n 个不同元素全部排成一排公式例子把 3 个人A、B、C排成一排照相有 3!3×2×163!3×2×16 种排法。第一梯队基础热身概念辨析例题 1数字排列用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数问1一共有多少个2其中是偶数的有多少个例题 2站队问题5 名同学排成一排照相甲必须站在正中间有多少种排法第二梯队限制条件捆绑法与插空法例题 3相邻问题——捆绑法7 人站成一排甲、乙、丙 3 人必须相邻有多少种排法解析例题 4不相邻问题——插空法7 人站成一排甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法解析例题 5混合限制6 人站成一排甲不站排头乙不站排尾有多少种排法解析容斥法总数6!7206!720减去甲站排头的5!1205!120减去乙站排尾的5!1205!120加上多减的甲站排头且乙站排尾4!244!24答案720−120−12024504720−120−12024504 种2. 选排列从 n 个不同元素中选 m 个排成一排m ≤ n这是最常用的排列公式强调顺序AB 和 BA 算两种。公式例子从 5 个人中选 3 个人排成一排当队长、副队长、队员有3. 可重复排列从 n 个元素中选 m 个允许重复选比如密码锁每位数字可以重复使用。公式例子用 0-9 组成 4 位数字密码有 1041000010410000 种允许 0000。4. 有重复元素的全排列n 个元素中有相同的比如字母 A、A、B 排成一排因为两个 A 一模一样不能按全排列算。公式其中 n1,n2,...n1,n2,... 是每种重复元素的个数。例子把单词 BOOK 的字母排列O 重复了 2 次有例题 6字母重排用单词BANANA的所有字母排成一排有多少种不同的排法解析BANANA 共 6 个字母A 出现 3 次N 出现 2 次B 出现 1 次重复元素全排列公式5. 环形排列围成圆圈旋转后相同算一种公式n 个不同元素围成一圈例子4 个人围圆桌吃饭有 (4−1)!3!6(4−1)!3!6 种坐法因为整体旋转不产生新排列。例题 7圆桌问题6 个人围着一张圆桌吃饭有多少种不同的坐法旋转后相同算一种解析环形排列公式(6−1)!5!120(6−1)!5!120 种重点区分最容易搞混类型是否考虑顺序是否允许重复公式排列 (Permutation)✅ 考虑❌ 不允许n!(n−m)!(n−m)!n!组合 (Combination)❌ 不考虑❌ 不允许n!m!(n−m)!m!(n−m)!n!记住口诀排列讲顺序组合不排序。比如 从 3 个人选 2 个当正副班长 是排列从 3 个人选 2 个去打扫卫生 是组合。例题 8数字排列进阶用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数问1共有多少个2其中能被 5 整除的有多少个解析例题 9多条件综合4 名男生和 3 名女生站成一排要求女生互不相邻男生甲和男生乙不相邻共有多少种排法解析例题 10定序问题——选位法7 个人站成一排其中A、B、C 三人的顺序必须是从左到右依次为 A→B→C不一定相邻有多少种排法解析二、组合1. 最核心的公式必记例题 1基础组合从 10 名同学中选出 3 人参加数学竞赛有多少种选法解析例题 2正反两面从 10 名同学中选出至少 8 人参加大扫除有多少种选法解析例题 3至少问题从 7 名男生和 5 名女生中选出 4 人组成志愿者小组要求至少有 1 名女生有多少种选法解析第三梯队分组分配组合的难点例题 4有编号的分组将 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 人每人 2 本有多少种分法解析例题 5无编号的分组——均匀分组将 6 本不同的书分成 3 堆每堆 2 本有多少种分法解析例题 6混合分组——不均匀将 6 本不同的书分成 3 堆数量分别为1 本、2 本、3 本有多少种分法解析第四梯队几何与图形数数问题例题 7数线段/三角形平面上有 10 个点其中任意 3 点不共线问1可以连成多少条线段2可以确定多少个三角形解析第五梯队隔板法同素分配公考/考研常考例题 8隔板法将 10 个完全相同的苹果分给 3 个小朋友要求每人至少 1 个有多少种分法解析例题 9隔板法变式——允许空盒将 10 个完全相同的苹果分给 3 个小朋友允许有人分不到有多少种分法解析2. 互补性质速算利器3. 递推公式手算/编程常用4. 组合恒等式简化复杂计算5. 实战计算技巧避免阶乘溢出直接用连乘比硬算阶乘快且不容易错6. 特殊值快速判断7. 组合 vs 排列终极对比8. 经典应用场景三、组合恒等式推导一最核心的武器两种证明方法二6大经典恒等式及推导① 互补恒等式② 递推公式帕斯卡恒等式③ 提取系数公式④ 二项式定理最重要的求和恒等式⑤ 变上标求和冰块恒等式⑥ 范德蒙德卷积乘积求和三推导心法遇到陌生恒等式怎么办四实战演示推导一个稍复杂的恒等式五给你的练习试试手四、CSP-J排列组合考什么考点与真题盘点结合近年真题2019-2024初赛的组合题有很明显的出题规律常见题型核心解法近年真题举例来源相邻/捆绑把相邻元素看作一个整体先排整体再排内部2024年“3个女生必须相邻”2020年“双胞胎必须相邻”不相邻/插空先排其他元素再把不相邻的元素插入空隙中2023年“任意两个练习时段之间至少隔两个空闲段”练习中的“红花互不相邻”分配/隔板法解决“相同元素分给不同对象”的问题用隔板法2020年“10个三好名额分到7个班级”含重复元素总数除以重复元素内部排列数或分类枚举2021年“由1,1,2,2,3组成不同三位数”2024年部门选人分堆/组合区分“堆”无编号和“人”有编号分堆要除阶乘2021年“6人组3队不区分编号”2019年“球装袋不区分袋子”成对问题先选成对的再从不成对中选单只注意排除再凑成对的情况2020年“取6只手套恰好配成两副”这些都是近5年CSP-J初赛选择题的“常客”你之前练的题目类型基本都覆盖到了。 应试策略怎么拿稳这几分先判断用排列还是组合做题前先问自己“选出的东西交换顺序算新情况吗”算就是排列A不算就是组合C。遇到限制条件优先用特殊方法“必须相邻”→ 捆绑法“不相邻”→ 插空法“至少/至多”→ 间接法总数减反面或分类讨论正难则反遇到“分配名额/相同球”→ 隔板法找空隙插板子。一定注意“重复计数”这是CSP-J组合题最大的坑。特别是分堆无编号时要除以堆数的阶乘选东西时用“先选再乘”的方法也容易重复要格外小心。⚠️ 特别注意CSP-J的“偏门”考法除了常规题CSP-J有时会出一些和实际场景结合的题比如颠倒数字、选时间段等光套公式容易卡住。这时候枚举反而是最可靠的方法。例如2023年第8题选时间段通过枚举选1个、2个、3个时间段的情况就能清晰地得到答案比硬套公式更稳妥。
