二阶是弯曲三阶是弯曲的变化你怎么知道一阶求导我懂下面再求导就不明白了一、先回到一阶导数它到底在描述什么二、关键问题斜率本身会不会变三、二阶导数描述“斜率变化有多快”例子三条线四、用图像直观理解“弯曲”五、三阶导数描述“弯曲本身怎么变”一、先回到一阶导数它到底在描述什么一阶导数 (f’(x)) 描述的是当 (x) 变一点点时(f(x)) 变化有多快。也就是斜率。比如(f’(x) 0)平坦(f’(x) 1)每往右走 1往上走 1(f’(x) 5)每往右走 1往上走 5很陡这个你懂没问题。二、关键问题斜率本身会不会变会。想象你开车一阶导数 速度二阶导数 加速度三阶导数 加速度的变化也叫急动度速度本身可以变。今天开 60明天开 80速度在变。同样斜率本身也可以变。三、二阶导数描述“斜率变化有多快”例子三条线第一条( y 2 x (y 2x(y2x)y ′ 2 y 2y′2斜率永远是 2不变。y ′ ′ 0 y 0y′′0二阶导数为 0说明斜率不变。第二条( y x 2 (y x^2(yx2)y ′ 2 x y 2xy′2x斜率是( 2 x (2x(2x)随( x (x(x) 变化。在( x 0 (x 0(x0)斜率是 0在( x 1 (x 1(x1)斜率是 2在( x 2 (x 2(x2)斜率是 4斜率在变大。y ′ ′ 2 y 2y′′2二阶导数是 2正数说明斜率在增加。第三条( y − x 2 (y -x^2(y−x2)y ′ − 2 x y -2xy′−2x在( x 0 (x 0(x0)斜率是 0在( x 1 (x 1(x1)斜率是 -2在( x 2 (x 2(x2)斜率是 -4斜率在变小越来越负。y ′ ′ − 2 y -2y′′−2二阶导数是负数说明斜率在减小。所以二阶导数的含义是斜率变化的方向和快慢。( f ′ ′ 0 (f 0(f′′0)斜率在增大曲线往上弯凹向上( f ′ ′ 0 (f 0(f′′0)斜率在减小曲线往下弯凹向下( f ′ ′ 0 (f 0(f′′0)斜率暂时不变可能是直线或拐点这就是为什么说二阶导数描述弯曲。注意不是“弯曲的大小”而是“弯曲的方向和趋势”。四、用图像直观理解“弯曲”看( y x 2 (y x^2(yx2)左边( x 0 (x 0(x0)斜率是负的曲线往下走右边( x 0 (x 0(x0)斜率是正的曲线往上走中间斜率从负变正说明曲线在“往上弯”这个“往上弯”就是( f ′ ′ 0 (f 0(f′′0)。看( y − x 2 (y -x^2(y−x2)左边斜率正右边斜率负斜率从正变负曲线“往下弯”这个“往下弯”就是( f ′ ′ 0 (f 0(f′′0)。所以二阶导数的正负直接决定曲线是向上弯还是向下弯。五、三阶导数描述“弯曲本身怎么变”既然二阶导数描述弯曲那三阶导数就是弯曲的变化。什么意思二阶导数( f ′ ′ (f(f′′) 告诉你现在弯得多厉害、朝哪弯三阶导数( f ′ ′ ′ (f(f′′′) 告诉你这个弯曲本身在变强还是变弱例子( y x 3 (y x^3(yx3)y ′ 3 x 2 y 3x^2y′3x2y ′ ′ 6 x y 6xy′′6xy ′ ′ ′ 6 y 6y′′′6看二阶导数( y ′ ′ 6 x (y 6x(y′′6x)( x 0 (x 0(x0)( y ′ ′ 0 (y 0(y′′0)曲线往下弯( x 0 (x 0(x0)( y ′ ′ 0 (y 0(y′′0)曲线往上弯( x 0 (x 0(x0)( y ′ ′ 0 (y 0(y′′0)拐点三阶导数( y ′ ′ ′ 6 0 (y 6 0(y′′′60)说明二阶导数 6x 在随 x 增大而增大。也就是说弯曲从“往下弯”逐渐变成“往上弯”而且这个转变是持续的。三阶导数描述的就是这种“弯曲状态本身的变化”。